Considere o polinômio
P(x) = xn + na-1xn-1 + … + a1x + a0,
em que a0, …, an-1, ∈ R. Sabe se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que a0 < 0.
O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n ≥ 1, é:
(A) -1
(B) in
(C)in+1
(D) (-1)n
(E) (-1)n+1
Tags – Matemática, polinômios
Resolução
Ao estudarmos as equações do 2º grau aprendemos que para uma equação do tipo ax2+bx+c = 0, a soma e o produto das raízes são respectivamente -b/a e c/a, essas relações vem de que se x1 e x2 são as raízes dessa equação:
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
→ ax2+bx+c = ax2-a(x1+x2)x+ax1x2
Igualando os coeficientes de termos de mesmo grau, obtemos
b = -a(x1+x2) e
c = ax1x2,
de onde chegamos as relações apresentadas.
Essas relações com a soma das raízes separadamente e a soma das raízes aos pares vale não só para as equações do 2º grau, como para todos os graus de equações polinomiais.
Para as equações de 3º grau (ax3+bx2+cx+d=0), por exemplo,
soma = (-b/a)=x1+x2+x3,
(c/a)=x1x2 + x1x3 + x2x3,
além disso há uma relação para a soma do produto das raízes 3 a 3: (-d/a)=x1x2x3,
e isso pode ser estendido para equações polinomiais de qualquer grau, sempre dividindo pelo primeiro coeficiente, multiplicando as raízes em grupos cada vez maiores para cada coeficiente e fazendo alternância de sinais.
Essas relações são conhecidas como Relações de Girard.
Assim, no problema nos dado, pelas relações de Girard, o produto das n raízes é igual a:
z1 x z2 x … x zn = (-1)n x (a0/an) = (-1)n x (a0/1) = (-1)n x a0.
Como as raízes estão na circunferência unitária – círculo de raio 1 centrado na origem no plano complexo (Plano de Argand-Gauss) -, o módulo de cada uma delas é 1, assim aplicando a função módulo em ambos os lados da equação anterior:
|z1 x z2 x … x zn| = |(-1)n x a0| → |z1| x |z2| x … x |zn| = |(-1)n| x |a0|
1 x 1 x … x 1 = 1 = 1 x |a0| → a0 = ±1
Como de acordo com o enunciado:
a0 < 0, a0 = -1, logo z1 x z2 x … x zn = (-1)n x (-1) = (-1)n+1
alternativa E.
